my artikel: Desember 2009

Kamis, 31 Desember 2009

notasisigma

-1-
BARISAN DAN DERET
PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang
dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka
disebut deret.
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan
Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)
1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu
bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan
dilambangkan dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika :
1) 1,3,5,.... bedanya b = ...
2) 0,5,10,... bedanya b = ...
3) 100,97,94,... bedanya b = ...
4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :
Un = a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
b = - 1 - n n U U
Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1,5,9 b) 10,8 1
2
,7,...
Jawab : a) ………….
b) ………….
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !
Jawab : ……………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab : …………..
Matematika kelas 12 IPA
-2-
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab : …………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 = 21 dan U10 = 41. Tentukan U15 !
Jawab : …………….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...
b) 1,1 1
2
,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...
2. Tentukan suku yang diminta !
a) 4,10,16,... suku ke-25
b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40
3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :
a) b = 4, U6 = 21, a = ...
b) a = -5, U20 = 33, b = ...
c) a = 9, b = -2, Un = - 19 , n = ...
d) U4 = 1, U7 = - 8, a = ... , b = ...
e) U3 7 1
2
= , U6 = 15, U10 = ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka
tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.
25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak
diperhitungkan !
Matematika kelas 12 IPA
-3-
1.2 DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret
aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika
S U U b U b a b a b a
S a a b a b U b U b U
S U U U U U
n n n n
n n n n
n n n
= + - + - + + + + + +
= + + + + + + - + - +
= + + + + + -
( ) ( 2 ) ....... ( 2 ) ( )
( ) ( 2 ) .......... ( 2 ) ( )
....... 1 2 3 1
+
2 ( )
2 ( ) ( ) ( ) ........ ( ) ( ) ( )
n n
n n n n n n n
S n a U
S a U a U a U a U a U a U
= +
= + + + + + + + + + + + +
S n a U n n = 1 +
2
( ) , karena U a n b n = + ( - 1) , maka :
[2 ( 1) ]
2
S 1 n a n b n = + - Sn : jumlah n suku pertama
U S S n n n = - - 1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 50 suku
b) 2+5+8+...+272
Jawab : a) ……………..
b) …………….
Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192
Jawab : ……………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi
5 !
Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1 S =……..
Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = 2 S =
……
Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1 S - 2 S = ……..
Contoh 4: Tentukan U10 jika S n n = 2
Matematika kelas 12 IPA
-4-
Jawab : …………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku
b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku
c) -7-3+1+ ... + 53
d) 25+21+17 + ... + 1
2. Tentukan x jika ;
a) 1+3+5+ ... + x = 441
b) 1+5+9+ ... + x = 561
3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :
a) a = 2, S22 = 737,b = ...
b) b=5,U S 10 15 = 46, = ...
c) U U S 4 7 10 = 9, = 18, = ...
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3
5. Tentukan U8 jika S n n n = 2 + 2
6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola
pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)
2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku
sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : …………..
Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u a 1 = dan rasio = r, maka :
= n- 1
n U ar
Dimana
- 1
=
n
n
U
r U
Matematika kelas 12 IPA
-5-
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : …………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
Jawab : ………………
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 = 4 dan U5 = 16 . Tentukan U8 !
Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27,
tentukan ketiga bilangan itu !
Jawab : Misal ketiga bilangan itu x xr
r
x , , maka .x.xr = 27 Û x3 = 27 Û x = 3
r
x
Jadi
3 1, 3, 9
9, 3, 1
3
1
3 3 3 13 3 2 10 3 0 (3 1)( 3) 0
r bilangannya
r bilangannya
r x r r r r r
r
= Þ
= Þ
+ + = Þ - + = Û - - =
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : ……………..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :
a)
1
4
1
2
, ,1,....
b) 2,2 2,4,....
3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :
a) a = 4 U = 32 U = 4 6 , , ...
b) b = U = a = 1
3
3 5 , , ...
c) U U U 3 6 5 = 8, = - 64, = ...
d) U U U 3 5 2 = 1, = 25, = ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216,
tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah
menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !
Matematika kelas 12 IPA
-6-
2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri
n n n
n
n n n
n
rS ar ar ar ar ar ar
S a ar ar ar ar ar x r
= + + + + + +
= + + + + + +
- -
- - -
2 3 2 1
2 3 2 1
.............
..............
-
n
n n S - rS = a - ar
, 1
1
( 1)
1
(1 ) ¹
-
= -
-
= - r
r
a r
r
S a r
n n
n dimana U S S n n n = - - 1
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : ………………
Contoh 3: Tentukan n jika 1+ 2 + 22 + ....+ 2n = 255
Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a)
1
4
1
2
1 10 + + + ....S = ...
b) 36+18+9+.... S6 = ...
c) 2 2 2 2 8 + + + ...S = ...
2. Tentukan jumlah dari :
a) 1/3+1+3=....+81
b) 32+16+8+....+1/8
3. Tentukan n jika :
a) 3+ 32 + 33+ ...+ 3n = 363
b) 2 + 22 + 23+ ...+ 2n- 1 = 1022
4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a) U U S 1 3 5 = 50, = 200, = ...
b) a r S n n = 1, = 3, = 29524, = ...
c) S r a 8 155
6
1
2
= , = , = ...
5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah
penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !
Matematika kelas 12 IPA
-7-
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
S a r
r
a
r
r
n r
n n
= -
-
=
-
-
-
(1 )
1 1 1
Untuk n ® ¥ maka :
= ¥ S
n ® ¥
Lim
)
1 1
(
r
r
r
a n
-
-
-
Untuk –1 < r < 1 maka :
= ¥ S
r r
a
-
-
- 1
0
1
sehingga = ¥ S
r
a
1-
syarat –1 < r < 1
Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1
Contoh 1: Hitung ....
4
1
2
1+ 1 + +
Jawab : ………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)
Jawab : ……………….
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9,
maka tentukan rasionya !
Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….
b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….
c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….
d. 1/2+1/3+2/9+…. h. 2 + 2 + 1+ ....
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a. r = -2/5, = ¥ S 15 maka a = ….
b. a = 2,
8
1
3 U = maka = ¥ S ….
c.
27
9, 1 2 7 U = U = maka = ¥ S ….
d.
8
, 1
2
9
1 3 5 U + U = U = maka = ¥ S ….
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula.
Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4.
Matematika kelas 12 IPA
-8-
4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka
tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga
tak terhingga jumlahya.
3. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan
digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan " "å
=
b
i a
i x dimana I sebagai indeks dengan
batas bawah a dan batas atas b sedangkan i x adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang
digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.
å=
b
i a
x1 dibaca “sigma dari i x untuk harga i dari a sampai b”.
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari å
=
+
5
1
(2 1)
k
k
Jawab : å
=
+
5
1
(2 1)
k
k = ………………… = …………
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28
Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma
sifatnya tidak unik.
å å+
=
-
=
=
k c
n c
n c
k
n
n x x
0
Contoh 3 : Ubahlah å
=
+
5
0
(4 3)
k
k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
Jawab : å å å
=
+
= =
+ = - + = -
12
7
5 7
7
5
0
(4 3) 4( 7) 3 (4 25)
k k k
k k k
Matematika kelas 12 IPA
-9-
LATIHAN SOAL
1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
å
å
å
å
å
=
=
=
=
=
+
-
-
n
k
k
n
k
ki
i
k
e x
n
d n
c k
b i
a k
1
6
0
10
1
7
3
2
7
1
. 2
2
.
. ( 1) 3
.
. (5 4)
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
. 1 4 9 ......... 144
. 2 4 6 ......... 56
. 1 2 4 ....... 256
20
...... 21
3
4
2
. 2 3
. 10 17 26 ...... 101
. 1 5 9 ...... 41
. 2 5 8 ...... 74
- + - + +
- + - -
+ + + +
+ + + +
+ + + +
- - - - -
+ + + +
g
f
e
d
c
b
a
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5
å
å
å
å
=
=
=
=
+
-
-
-
n
i
x
x
n
k
i
d i
c
b n
a k
0
10
7
10
3
8
0
2
. 1
. 2
. (10 2 )
. (3 4)
4. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika
dengan menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan nÎ Asli sedemikian sehingga :
1. n P benar untuk n = 1
2. Misal k P benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan
k + 1 P benar pula, maka n P benar untuk nÎ Asli.
Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang
sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.
Matematika kelas 12 IPA
-10-
Contoh 1 : Buktikan ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ..... + n = n n + dengan menggunakan induksi matematika !
Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = (1 1)
2
1 + benar.
Misal untuk sembarang n = k maka ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ..... + k = k k + benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
( 2)
2
1
2
( 1) 2( 1)
2
( 1) ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ...... + k + (k + 1) = k k + + k + = k k + + k + = k + k + benar.
Jadi ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ..... + n = n n + benar untuk nÎ Asli.
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !
( )
9. 8 3 7
8. 3 3
7. 2
6. 2 2 2 ........ 2 2 2 1
(11 )
2
5. 25 20 15 ....... (30 5 ) 5
4. 10 8 6 ..... (12 2 ) 11
2
3. 2 7 12 ....... (5 3) (5 1)
2. 1 3 5 ....... (2 1)
1. 2 4 6 ..... 2 ( 1)
2
3
2
2 3
2
2
+
- +
+
+ + + + = -
+ + + + - = -
+ + + + - = -
+ + + + - = -
+ + + + - =
+ + + + = +
n
n n
faktor dari
faktor dari n n
faktor dari n n
n n n
n n n
n n n
n n
n n n
Matematika kelas 12 IPA-1-
BARISAN DAN DERET
PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang
dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka
disebut deret.
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan
Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)
1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu
bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan
dilambangkan dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika :
1) 1,3,5,.... bedanya b = ...
2) 0,5,10,... bedanya b = ...
3) 100,97,94,... bedanya b = ...
4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :
Un = a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
b = - 1 - n n U U
Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1,5,9 b) 10,8 1
2
,7,...
Jawab : a) ………….
b) ………….
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !
Jawab : ……………
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab : …………..
Matematika kelas 12 IPA
-2-
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab : …………….
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 = 21 dan U10 = 41. Tentukan U15 !
Jawab : …………….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...
b) 1,1 1
2
,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...
2. Tentukan suku yang diminta !
a) 4,10,16,... suku ke-25
b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40
3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :
a) b = 4, U6 = 21, a = ...
b) a = -5, U20 = 33, b = ...
c) a = 9, b = -2, Un = - 19 , n = ...
d) U4 = 1, U7 = - 8, a = ... , b = ...
e) U3 7 1
2
= , U6 = 15, U10 = ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka
tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.
25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak
diperhitungkan !
Matematika kelas 12 IPA
-3-
1.2 DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret
aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika
S U U b U b a b a b a
S a a b a b U b U b U
S U U U U U
n n n n
n n n n
n n n
= + - + - + + + + + +
= + + + + + + - + - +
= + + + + + -
( ) ( 2 ) ....... ( 2 ) ( )
( ) ( 2 ) .......... ( 2 ) ( )
....... 1 2 3 1
+
2 ( )
2 ( ) ( ) ( ) ........ ( ) ( ) ( )
n n
n n n n n n n
S n a U
S a U a U a U a U a U a U
= +
= + + + + + + + + + + + +
S n a U n n = 1 +
2
( ) , karena U a n b n = + ( - 1) , maka :
[2 ( 1) ]
2
S 1 n a n b n = + - Sn : jumlah n suku pertama
U S S n n n = - - 1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 50 suku
b) 2+5+8+...+272
Jawab : a) ……………..
b) …………….
Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192
Jawab : ……………
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi
5 !
Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1 S =……..
Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = 2 S =
……
Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1 S - 2 S = ……..
Contoh 4: Tentukan U10 jika S n n = 2
Matematika kelas 12 IPA
-4-
Jawab : …………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku
b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku
c) -7-3+1+ ... + 53
d) 25+21+17 + ... + 1
2. Tentukan x jika ;
a) 1+3+5+ ... + x = 441
b) 1+5+9+ ... + x = 561
3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :
a) a = 2, S22 = 737,b = ...
b) b=5,U S 10 15 = 46, = ...
c) U U S 4 7 10 = 9, = 18, = ...
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3
5. Tentukan U8 jika S n n n = 2 + 2
6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola
pantulannya 1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)
2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku
sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : …………..
Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u a 1 = dan rasio = r, maka :
= n- 1
n U ar
Dimana
- 1
=
n
n
U
r U
Matematika kelas 12 IPA
-5-
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : …………….
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
Jawab : ………………
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 = 4 dan U5 = 16 . Tentukan U8 !
Jawab : ……………….
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27,
tentukan ketiga bilangan itu !
Jawab : Misal ketiga bilangan itu x xr
r
x , , maka .x.xr = 27 Û x3 = 27 Û x = 3
r
x
Jadi
3 1, 3, 9
9, 3, 1
3
1
3 3 3 13 3 2 10 3 0 (3 1)( 3) 0
r bilangannya
r bilangannya
r x r r r r r
r
= Þ
= Þ
+ + = Þ - + = Û - - =
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : ……………..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :
a)
1
4
1
2
, ,1,....
b) 2,2 2,4,....
3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :
a) a = 4 U = 32 U = 4 6 , , ...
b) b = U = a = 1
3
3 5 , , ...
c) U U U 3 6 5 = 8, = - 64, = ...
d) U U U 3 5 2 = 1, = 25, = ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216,
tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah
menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !
Matematika kelas 12 IPA
-6-
2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri
n n n
n
n n n
n
rS ar ar ar ar ar ar
S a ar ar ar ar ar x r
= + + + + + +
= + + + + + +
- -
- - -
2 3 2 1
2 3 2 1
.............
..............
-
n
n n S - rS = a - ar
, 1
1
( 1)
1
(1 ) ¹
-
= -
-
= - r
r
a r
r
S a r
n n
n dimana U S S n n n = - - 1
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : ……………
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : ………………
Contoh 3: Tentukan n jika 1+ 2 + 22 + ....+ 2n = 255
Jawab : ………………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a)
1
4
1
2
1 10 + + + ....S = ...
b) 36+18+9+.... S6 = ...
c) 2 2 2 2 8 + + + ...S = ...
2. Tentukan jumlah dari :
a) 1/3+1+3=....+81
b) 32+16+8+....+1/8
3. Tentukan n jika :
a) 3+ 32 + 33+ ...+ 3n = 363
b) 2 + 22 + 23+ ...+ 2n- 1 = 1022
4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a) U U S 1 3 5 = 50, = 200, = ...
b) a r S n n = 1, = 3, = 29524, = ...
c) S r a 8 155
6
1
2
= , = , = ...
5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah
penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !
Matematika kelas 12 IPA
-7-
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
S a r
r
a
r
r
n r
n n
= -
-
=
-
-
-
(1 )
1 1 1
Untuk n ® ¥ maka :
= ¥ S
n ® ¥
Lim
)
1 1
(
r
r
r
a n
-
-
-
Untuk –1 < r < 1 maka :
= ¥ S
r r
a
-
-
- 1
0
1
sehingga = ¥ S
r
a
1-
syarat –1 < r < 1
Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1
Contoh 1: Hitung ....
4
1
2
1+ 1 + +
Jawab : ………………
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)
Jawab : ……………….
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9,
maka tentukan rasionya !
Jawab : …………………….
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….
b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….
c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….
d. 1/2+1/3+2/9+…. h. 2 + 2 + 1+ ....
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a. r = -2/5, = ¥ S 15 maka a = ….
b. a = 2,
8
1
3 U = maka = ¥ S ….
c.
27
9, 1 2 7 U = U = maka = ¥ S ….
d.
8
, 1
2
9
1 3 5 U + U = U = maka = ¥ S ….
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula.
Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4.
Matematika kelas 12 IPA
-8-
4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka
tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga
tak terhingga jumlahya.
3. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan
digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan " "å
=
b
i a
i x dimana I sebagai indeks dengan
batas bawah a dan batas atas b sedangkan i x adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang
digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.
å=
b
i a
x1 dibaca “sigma dari i x untuk harga i dari a sampai b”.
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari å
=
+
5
1
(2 1)
k
k
Jawab : å
=
+
5
1
(2 1)
k
k = ………………… = …………
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28
Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma
sifatnya tidak unik.
å å+
=
-
=
=
k c
n c
n c
k
n
n x x
0
Contoh 3 : Ubahlah å
=
+
5
0
(4 3)
k
k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
Jawab : å å å
=
+
= =
+ = - + = -
12
7
5 7
7
5
0
(4 3) 4( 7) 3 (4 25)
k k k
k k k
Matematika kelas 12 IPA
-9-
LATIHAN SOAL
1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
å
å
å
å
å
=
=
=
=
=
+
-
-
n
k
k
n
k
ki
i
k
e x
n
d n
c k
b i
a k
1
6
0
10
1
7
3
2
7
1
. 2
2
.
. ( 1) 3
.
. (5 4)
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
. 1 4 9 ......... 144
. 2 4 6 ......... 56
. 1 2 4 ....... 256
20
...... 21
3
4
2
. 2 3
. 10 17 26 ...... 101
. 1 5 9 ...... 41
. 2 5 8 ...... 74
- + - + +
- + - -
+ + + +
+ + + +
+ + + +
- - - - -
+ + + +
g
f
e
d
c
b
a
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5
å
å
å
å
=
=
=
=
+
-
-
-
n
i
x
x
n
k
i
d i
c
b n
a k
0
10
7
10
3
8
0
2
. 1
. 2
. (10 2 )
. (3 4)
4. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika
dengan menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan nÎ Asli sedemikian sehingga :
1. n P benar untuk n = 1
2. Misal k P benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan
k + 1 P benar pula, maka n P benar untuk nÎ Asli.
Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang
sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.
Matematika kelas 12 IPA
-10-
Contoh 1 : Buktikan ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ..... + n = n n + dengan menggunakan induksi matematika !
Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = (1 1)
2
1 + benar.
Misal untuk sembarang n = k maka ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ..... + k = k k + benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
( 2)
2
1
2
( 1) 2( 1)
2
( 1) ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ...... + k + (k + 1) = k k + + k + = k k + + k + = k + k + benar.
Jadi ( 1)
2
1+ 2 + 3 + ..... + n = n n + benar untuk nÎ Asli.
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !
( )
9. 8 3 7
8. 3 3
7. 2
6. 2 2 2 ........ 2 2 2 1
(11 )
2
5. 25 20 15 ....... (30 5 ) 5
4. 10 8 6 ..... (12 2 ) 11
2
3. 2 7 12 ....... (5 3) (5 1)
2. 1 3 5 ....... (2 1)
1. 2 4 6 ..... 2 ( 1)
2
3
2
2 3
2
2
+
- +
+
+ + + + = -
+ + + + - = -
+ + + + - = -
+ + + + - = -
+ + + + - =
+ + + + = +
n
n n
faktor dari
faktor dari n n
faktor dari n n
n n n
n n n
n n n
n n
n n n
Matematika kelas 12 IPA

geometri

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^{^n-1}
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^{^n-1} ® fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(r^ⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-r^ⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S_{_¥} = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar²+ar⁴+ ....... S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ...... S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M_ⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
= (1 + P/100)² M₀.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

aritmatika

1. BARISAN ARITMATIKA

U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

2. DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.

5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

रुमुस pytagoras

Proses Pembentukan Rumus Phytagoras

Ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani pada abad ke 6 SM bernama Phytagoras telah mencetuskan teorema bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, panjang sisi miring kuadrat besarnya sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. Teorema ini dikenal sebagai teorema Pythagoras, dinyatakan sebagai berikut :
c² = a² + b²a : panjang sisi tegak
b : panjang sisi datar (alas)
c : panjang sisi miring

Pembuktian teorema di atas adalah sebagai berikut :

Perhatikan bangun persegi ABCD dan EFGH pada gambar di atas. Luas daerah persegi EFGH = c² , sedangkan luas daerah persegi ABCD adalah : (a + b) (a + b) = a² + 2 ab + b²

^{Luas daerah segitiga-segitiga yang mengelilingi persegi EFGH besarnya sama yaitu : 1/2 ab. Jika luas keempat segitiga tersebut dijumlahkan, maka diperoleh : 4 x 1/2 ab = 2 ab. Dari gambar kita tahu bahwa luas daerah persegi EFGH besarnya sama dengan luas daerah persegi ABCD dikurangi luas daerah keempat segi tiga yang mengelilingi persegi EFGH.}

^{Luas persegi EFGH = Luas persegi ABCD - 4 luas segitiga yang mengelilingi persegi EFGH}

^{c² = (a² + 2 ab + b²) - 2 ab}

^{c² = a² + b²}

Pembuktian teorema Phytagoras ini dapat dilakukan dengan beberapa cara praktis dan menarik sebagai berikut :

Cara I

Buatlah gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A beserta persegi-persegi yang salah satu sisinya adalah sisi-sisi segitiga pada selembar kertas atau karton. Persegi pada sisi siku-siku yang besar dibagi menjadi 4 bagian yang kongruen dengan garis KL//BC dan PQ tegal lurus KL (dengan PQ dan KL adalah garis yang melalui titik potong diagonal persegi tersebut). Selanjutnya potonglah bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku dan letakkan pada bidang persegi pada sisi miring. Bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku akan tepat menutupi bidang persegi pada sisi miring jika disusun sesuai dengan nomor-nomor yang tertera pada gambar.

Jadi Luas persegi pada sisi miring(CB²) = Luas Persegi pada sisi tegak(CA²) + luas persegi pada sisi datar(AB²).

Cara II

Buatlah gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A beserta persegi-persegi seperti cara 1 pada selembar kertas atau karton. Pada persegi ABLM dibuat garis KL // BC dan KT // OC, sedangkan pada persegi PCAR dibuat garis QA // BC dan QS // OC. Kemudian potonglah bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku dan letakkan pada bidang persegi pada sisi miring. Bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku akan tepat menutupi bidang persegi pada sisi miring.

Cara III.

Dengan cara yang sama seperti cara-cara sebelumnya, kita lakukan potongan persegi persegi yang baru sebuah segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di A seperti pada gambar di bawah ini. Pada persegi ABLM dibuat garis -garis yang sejajar dan tegak lurus, ED // LM dan XY ( LM. Bagian-bagian persegi pada sisi siku-siku yang terbentuk akan tepat menutupi bidang persegi pada sisi miring.

Silahkan buat dengan cara yang sama dengan model potongan yang lain, sehingga dapat membuktikan secara benar teorema phytagoras. Selamat mencoba !!!

Rumus-Rumus Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Trigonometri

430

< Sebelum Sesudah >

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin²½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA

BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :
K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°

cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°

tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

< Sebelum

Sesudah

my artikel

Kamis, 31 Desember 2009

notasisigma

geometri

aritmatika

रुमुस pytagoras

Mengenai Saya

Pengikut

Arsip Blog